微分とは何か? なんで微分をするのか? を簡単に解説してみた。

塾でバイトしているときに、

よく聞かれたのが、

なんで微分が必要なんですか?

そもそも微分って何なんですか?

という質問

 

この質問は、僕自身が受験生時代に抱えていたものだったし、

学校の先生はあまり教えてくれないことでもあるから、

ここで解説しておこうと思う。

 

ちなみに、文系でも簡単に理解できるよう、

ここではリミットの計算はしなくても良いように説明する。

 

微分とは何か?

微分とは何か?

ウィキペディアなどで調べると、

次のようなことが書かれている。

数学における実変数函数(英語版)の微分(びぶん)、微分係数微分商または導函数(どうかんすう、英: derivative)は、別の量(独立変数)に依存して決まる、ある量(函数の値あるいは従属変数)の変化の感度を測るものである。

微分 - Wikipedia

もうみただけでうんざりしてしまった人もいるのではないだろうか笑

 

簡単に言うと、

関数の接線の傾きを調べたいときに微分をする。

 

なんで関数の接線の傾きを調べたいのか?

それは、なぜ微分をするのか?

ということに関係するので、後述する。

 

なぜ微分するのか?

結論から言えば、

なぜ微分するのか?

関数の概形がわかるから。である

 

微分の目標は関数のざっくりした形を知ることにある。

関数のザックリした形(概形)をつかむためには、

関数の増減がわかればいい。

増減がわかるためには、関数の接線の傾きがわかれば良い。

接線の傾きが正なら増加するし、接線の傾きが負なら減少する。

例えば、y=x^2で考えてみる。

 

微分すると

y=2x これはさすがに計算できてほしい笑

 

x=1のときと、x=-1のときを考えてみれば、

 

x=1のとき、y=2 正 よって増加

x=-1のとき、y=-2 負 よって減少

 

実際にグラフを見てみると、

x=1のとき増加していて、

x=-1のとき減少しているのが見てわかるはず。

 

 

 

 

なぜ増減が知りたいのか?

大体の関数は曲線である。

曲線というのは、点と点をなめらかにつないだら曲線になる。

 

つまり、いつ増えて、いつ減るのかがわかれば、

あとは頂点(極大点)と頂点(極小点)をなめらかにつなげれば良いだけ!

ということになる。

増減表を書く理由

だから増減表では、

極大点と極小点の座標、

そして増減を書き込むわけ。

 

なんとなくわかっただろうか?

 

増減表を書きなさい!

っていうのは、

増減表に関数の概形を書くための情報が整理されて圧縮されているから。

 

増減表さえ書いてしまえば、概形は自然と書ける。

だから増減表はめんどくさくても書かなければならないし、

めんどくさいけれど、概形を書くための一番の近道なわけよ。

 

なんでグラフの概形が知りたいのか?

それは、あるデータが得られたとする。

そのデータが数式として書けるときに、

その数式をグラフにできた方が視覚的に理解ができるから。

 

視覚的に理解ができるというのは、

単に、具体例を示せば体感としてわかるはず。

 

と書かれるよりも、

 

 



 

こうやってグラフで見せてくれた方が見やすくて理解しやすいでしょ?

 
だからなるべく、数式はグラフにしたいわけ。
 
 まとめると、
  • 微分とは、関数の接線の傾きを調べるためのもの
  • 微分をする理由は関数の概形が書きたいから!
    
では勉強頑張ってね!
以上。